Вот именно в доказательство нужно свести первый интеграл к последнему. Без производной по F обоих сторон тождества.
[math]\int\limits_{0}^{F}[/math] cth(x/2) x dx = [math]\int\limits_{0}^{F}[/math] [math]\frac{ xdx }{ th(x|2)}[/math] = [math]\int\limits_{0}^{F}[/math] [math]\frac{ (e^{x}+1 ) }{(e^{x}-1)}[/math] x dx = [math]\int\limits_{0}^{ \infty }[/math] ( [math]\frac{ 2x }{ e^{x}-1 }[/math] + [math]\frac{ x }{ 2 }[/math]) dx

Попробовала расписать ещё раз cth на экспоненты, руководствуясь формулой из википедии
(https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 0%B8%D0%B8 ) и получила интеграл:

[math]\int\limits_{0}^{F}[/math] cth(x/2) x dx = [math]\int\limits_{0}^{F}[/math] [math]\frac{ xdx }{ th(x|2)}[/math] = [math]\int\limits_{0}^{F}[/math] [math]\frac{ (e^{x}+1 ) }{(e^{x}-1)}[/math] x dx

Прошу Вас, помогите понять, какую можно сделать замену или ещё что-то, чтобы свести его к этому виду.